3変数の鶴亀算

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唐突だが、3変数の鶴亀算を解けるようにしておきたい。ぶっちゃけ数学は苦手科目だが、それっぽく言葉で表現できるようにしたい。完全に自分用メモである。 よく聞く、つまり2変数の鶴亀算は、例えば次のようなもの。
鶴と亀が合計10匹いる。足の本数は合計34本である。鶴と亀はそれぞれ何匹ずついるだろうか?
但し、鶴の足は2本、亀の足は4本とする。

10匹全て鶴だったとすると、足の総数は以下の通り。 $$10[匹]\times2[本/匹] = 20[本]$$ これだと本数が不足しているため、数匹を鶴ではなく亀に変更したい。足の本数は、1匹変更するごとに2→4[本]になるので、1匹変更ごとの増分は2[本/匹]である。 合計本数に辿り着くまで鶴→亀に変更するとき、必要匹数は以下の通り計算できる。 $$\frac{34[本]-20[本]}{2[本/匹]}=7[匹]$$ よって、亀が7匹、鶴は3匹いるということがわかる。 これくらいなら大して考えずノリで計算できる。 さて、問題は3変数のとき。
10000円札、5000円札、1000円札が手元に合計1000枚あり、その総額は1234000円である。各お札は何枚ずつあるのだろうか?
3変数の場合は、図を使うと表現しやすい。
各頂点の名前は利用有無に関わらずてきとうに付けている
突然階段状の図を掲載したが、横軸が枚数、縦軸が1枚あたりの金額、そして面積が総額を表現している。
全て書き連ねてみると、以下の感じ。
AB:10000円札の枚数
DE:5000円札の枚数
HI:1000円札の枚数
AJ:10000円
DK:5000円
HL:1000円
AJKB:10000円札の総額
DKLE:5000円札の総額
HLMI:1000円札の総額 手順は全部で4段階。
10000円札、5000円札、1000円札の枚数をそれぞれa, b, cとする(当然全て0か自然数である)。また、煩雑になるため、以降の金額は全て3桁落として記述する。 1. どのお札であろうと、必ず1円はかかるため、その分を取り除く。つまり全体の面積から、FJMIの面積を引く。 $$1234 – (1\times1000) = 234$$ 2. 多角形AFHEDBについて考える。これはAFGBとDGHEの和のため、以下の式で表現できる。 $$9\times a + 4\times b = 234$$ $$4\times b = 234 – 9\times a$$ $$b = \frac{234 – 9\times a}{4}$$ 3. 試しに値を入れてみて、それっぽい数字が出るか試す。 $$a=0のとき、b=\frac{234}{4}であり不適$$ $$a=2のとき、b=\frac{216}{4}=54であり適当$$ 4. 以下の通り、全ての未知数の候補が見つかる(他にも条件を満たす組み合わせがあるため「候補」)。 $$c=1000-(a+b)=944$$ ※試しに計算してみると以下の通り、確かに満たしている。 $$10\times2 + 5\times54 + 1\times944 = 1234$$ いやー、数学って難しいね(しみじみ)

お茶漬け

たまーに飲み屋で食べるお茶漬けめちゃウマい

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